Построение третьего измерения включает расширение нашей математической среды с плоскости $\mathbb{R}^2$ до $\mathbb{R}^3$, создавая три взаимно перпендикулярных направленных линии (ось х, ось у и ось z), пересекающиеся в начале координат $O$.
Точно так же, как мы используем ряд Маклорена для экспоненциальной функции, $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$, чтобы строить сложные функции из простых полиномиальных членов, мы формируем трёхмерное пространство, разбивая его на восемь октантами используя три пересекающихся координатных плоскостей (xy, yz и xz). Этот переход позволяет нам определить любую точку Р в виде упорядоченной тройки (a, b, c), представляющей её направленные расстояния от этих плоскостей — переход от «бесконечной сложности» кривой Коха в двумерном пространстве к структурированному объёму физического мира. кривой Коха к структурированному объёму физического мира.
Геометрия $\mathbb{R}^3$
Чтобы определить точки в пространстве, мы фиксируем три направленные линии через $O$, которые перпендикулярны друг другу, называемые осью х, осью уи осью z. Их ориентация следует правилу правила правой руки: если вы согните пальцы правой руки от положительной оси х к положительной оси у, ваш большой палец будет указывать в сторону положительной оси z (Рисунок 2).
Три координатные оси определяют три координатные плоскости: плоскость xy ($z=0$), плоскость yz ($x=0$), и плоскость xz ($y=0$). Эти плоскости делят пространство на восемь частей, называемых октантами. Первый октант — это область, где все координаты положительны.
Для любой точки $P$ тройка $(a, b, c)$ содержит координату х ($a$) ($a$), координату у ($b$) и координату z ($c$) ($c$). Это направление расстояний от плоскостей уz, xz и ху соответственно.
Математическая аналогия построения
Определение точки $P(a, b, c)$ путём суммирования компонентов концептуально аналогично суммированию членов ряда. Рассмотрим сумму ряда $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$. Для этого необходимо распознать знакомую формулу ряда Маклорена для $e^x$.
Ряд $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!}$ связан с $e^{x+2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{n!}$. Чтобы решить этот пример, мы изменяем индекс, чтобы соответствовать привычной форме:
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+2)^n}{(n+3)!} = (x+2)^{-3} \left[ e^{x+2} - 1 - (x+2) - \frac{(x+2)^2}{2!} \right]$$
Точно так же, как мы определяем составляющие в степенном ряде, мы определяем оси и плоскости, чтобы установить пространственное положение.
Опасность размерности
Примечание: Когда задано уравнение, необходимо понять из контекста, представляет ли оно кривую в $\mathbb{R}^2$ или поверхность в $\mathbb{R}^3$.
- Уравнение $y=5$: В $\mathbb{R}^1$ это точка. В $\mathbb{R}^2$ это горизонтальная линия. В $\mathbb{R}^3$ это вся плоскость параллельная координатной плоскости хz (Рисунок 7).
- Уравнение $y=x$: В $\mathbb{R}^3$, поскольку $z$ является «свободной переменной», это уравнение представляет вертикальную плоскость, проходящую через ось $z$, пересекающую плоскость $xy$ по линии $y=x$.